1、问题的提出

托盘码垛问题，是物流系统设计和数据分析的基础问题。虽然可以通过一些应用软件去计算单一SKU的码垛结果，但对于动则成千上万的SKU，计算工作量实在太大。本文探索托盘码垛计算的数学原理，以便给读者提供快捷方便的计算公式。

假设：

1）托盘码垛尺寸：x*y*z（长*宽*高），其中x>=y

2）箱子尺寸：a*b*c（长*宽*高），其中a>=b

为了简单起见，以下忽略高度方向的计算。

2、关于码垛的原理和方法

关于托盘码垛，有两点是需要考虑的：1）码放的数量越多越好；2）码垛要符合行业要求。例如，行业有一个具体要求是：上面一层要与下面一层纵横交错，以便垛型保持稳定，不至于在输送和搬运过程中散垛。

码垛分析的意义在于，不同的码垛方式，其码垛数量是不同的。找出最理想的码垛方式，是设计的重要目标。例如对于1200mm*1000mm的标准托盘，如果箱型是450mm*350mm，码垛方式至少有以下几种：

实际上，以上3种码垛方式都存在瑕疵，实际码垛采用的是更加符合标准的式样，如下图：

两种式样分别表示奇数层和偶数层。

托盘码垛虽然变幻多端，但其实是有规律可循的。抛开美观不说，对每个箱子而言，其摆放方向只有两种情形：长边朝X方向或朝Y方向。这样使得分析计算变得相对简单。例如，350mm*250mm箱子，最简单的码垛方法是箱子长边始终沿一个方向排列，如下图所示:

第一种（左图）是长边朝X方向，第二种（右图）是朝Y方向。显然，左边好好于右边。第二种方法实际只能码放8个箱子，远低于第一种的12个。

如果改变这种单一方向的策略，还会看到更多的结果（忽略对称的部分）：

显然，每种码放格式，其数量发生了变化，分别是12，13，11。这一结果显示，采用纵横交错的方式，有时会得到较好的结果，但有时的结果甚至不如简单的策略。最典型的例子莫过于对于1000*1000的托盘，箱子的尺寸为600*400时，简单的方法结果都不好。如下图所示：

左图是按照单一方式排布的，中图考虑了一些变化，右图才是正确的结果。上述的结果给了我们一种启示：尽管有时简单的布置方式就是最好的方式，但在有些情况下，四个角尝试按照顺时针方向（逆时针也是一样的）不断变换箱子方向的排列策略，将有可能获得最好结果。

如果从数学上描述，码盘问题实际上是求取（a,b）组合在（x,y）空间的最大值。即：

方程式1：nx*a+mx*b<=x         （1）

方程式2：ny*b+my*a<=y         （2）

求解max（nx*ny+mx*my）        （3）

下图是方程式的基本示意：

很显然，上图右边的排列才是最优的，因为完全排满了。但这种最优解在很多情况下并非只有一个，这会给计算带来困难。

关于如何判断最大码垛数，下面给出一个计算公式：

N=int（（x*y）/（a*b））            （4）

int（）为取整函数，则N就是最大的码垛数。需要注意的是，很多情况下，实际排列的数要比这个少，所以，上述公式需要进行一些修正。应该看到，如果箱子尺寸越小，误差就越小，反之，误差就会增大。

3、计算公式

需要注意的是，作为数据分析用的计算公式，并非一定要非常准确，只是要控制误差，避免给设计带来重大影响。举一个例子，设托盘尺寸为1100*1100，箱子尺寸是600*400，实际码放如下图所示：

实际码放是4个箱子，如果按照公式（4）计算，N=5，所以误差是20%，由此，也可以看出修正的必要性。

根据以上的分析，修正采用以下基本策略；

从左下角开始，箱子长边a沿托盘长边x开始进行简单排列，然后在右边的最后一列，考虑箱子旋转90°方向排列，在y方向，左上最后一排的箱子旋转90°排列，最后，右上角箱子再旋转90°排列。

沿长边布置的列数：na=int(x/a)，int（）为取整函数；

沿宽边布置的行数：nb=int(y/b)；

数据修正如下：

x方向：至少要在右边增加一列，宽度为b；

设δ=x-na*a，若δ>=b，则增加k列b方向的箱子，k=int(δ/b)，否则：检验一下(a+δ)/b>=2是否成立，如果不成立，就不予处理，因为int((a+δ)/b)=1毫无意义；

y方向：σ=y-nb*b，若b+σ>=a，则nb减少一行，否则，就不予处理。

此外，设β= y-a*int(y/a)，若β>=b，则可以增加k列横向箱子。

计算公式：

N0=na*nb ...........................................(5)

修正公式1：

设δ=x-na*a，若k1=int(δ/b)>=1，且y>=a+b(至少可以进行一次组合排列)：

设σ=y-nb*b，β= y-a*int(y/a)，若b+σ>=a，则计算结果为：

N1=na*(nb-1)+k1*int(y/a)+int((b+σ)/a)*int(na*a/b)+int(β/b) ..........(6)

修正公式2：

设δ=x-na*a，若δ=a+b(至少可以进行一次组合排列)：

若(a+δ)/b>=2，设k2=int((a+δ)/b)，σ=y-nb*b，β= y-a*int(y/a)，若b+σ>=a，则计算结果为：

N2=(na-1)*(nb-1)+k2*int(y/a)+int((b+σ)/a)*int(na*a/b)+int(β/b) ......(7)

附注：也可以按照旋转90°重新计算，如果x>=y，事实上结果是一致的。

需要注意的是，在极端情况下，上述公式还会出现误差，但对于数据分析，已经具备足够的精度了。

4、经验公式

以上推导的计算公式（4）~（7），虽然精度很高，但在实际应用中还是太麻烦，有必要进一步简化。

事实上，如果不存在以下两种情况：

1）按一个方向码放，x方向剩余的部分δ=x-na*a已经不足一个b时；

2）按一个方向码放，y方向剩余的部分σ=y-nb*b-b已经不足一个a时；

其实误差已经很小，可按公式（5）计算结果。

反之，则需要修正。公式如下：

N3=na*nb+int（（x-na*a）/b）*int(y/a)+int（（y-int(y/a）/b）          (8)

这个公式在特殊情况下当然会有误差，比如对特别细长的箱子，计算往往会出现问题，但基本可以满足设计的需要。试举一例如下：

x*y=1000*1000，a*b=600*400

na=1

nb=2

N3=4

实际结果N3=4，符合预期。但这一结果并未验算长度方向是否够的问题，在更为复杂的场合下，可能会有误差。

在实际数据分析中，还有更为简单的方法，即按照公式（4）和公式（5）分别计算码垛结果，然后取一个中间值，也是可以达到要求的。

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